土地と家を6月に売却しました。今後の固定資産税は誰が納めるのでしょうか？

次のとおりです。

固定資産税は、毎年1月1日現在の所有者に、その年度分が課税されることになっています。
6月に他人に譲り渡した場合でも、今年1月1日現在の所有者が今年度分を全て納めなければならず、土地や家屋を譲り受けた人は、来年度から納税義務者となります。
なお、未登記の建物を譲り渡したり、取り壊したりしたときは、必ず市役所課税課資産税係に届け出て下さい。