下水道の排水設備工事は、指定工事店以外では行えないのですか？

そのとおりです。

指定工事店には適正に排水設備工事をしていただくために、市への確認申請の提出や市の規定にあった工事の施工などの条件や責任が課せられています。
従って、指定工事店以外では排水設備工事を行なえません。